2015考研数学多元积分和无穷级数真题考点总结
[摘要] 对于考研数学的复习，除了按照数学考试大纲的要求对知识点进行全面的复习外，要想取得高分，还应该对往年的考研数学试题的规律、风格和特点有较全面的认识，这样才能做到心中有数、知己知彼，一考成功.
在每年的全国硕士研究生入学考试中，数学总分是150分，占了较大比重，数学能否复习好、考好，对考研能否成功有较大影响。对于考研数学的复习，除了按照数学考试大纲的要求对知识点进行全面的复习外，要想取得高分，还应该对往年的考研数学试题的规律、风格和特点有较全面的认识，这样才能做到心中有数、知己知彼，一考成功。为了帮助广大考生复习好、考好数学，下面对考研数学（一）中的多元函数积分学和无穷级数的真题考点进行分析总结。内容包括：重积分及其应用、曲线积分和曲面积分、无穷级数，这几部分内容的考点分布规律如下表所示。
近15年考研数学（一）中的多元函数积分学和无穷级数的真题考点分析：
| 内容 年份 | 重积分及其应用 | 曲线与曲面积分 | 无穷级数 |
| 2000 | 八(球体重心) | 二(2)(曲面积分对称性)，五(格林)，六(高斯，微分方程) | 二(3)(敛散判断)，七(收敛区间) |
| 2001 | 一(3)(二次积分)，八(雪堆融化，体积，侧面积) | 六(斯托克斯) | 五(函数展开，数项求和) |
| 2002 | 五(二重积分，分区) | 六(格林) | 二(2)(敛散判断)，七(Ⅰ)(逐项求导，微分方程) |
| 2003 | 八(球面坐标，极坐标，变限求导) | 五(格林，对称性) | 一(3)(傅里叶系数)，四(函数展开，数项求和) |
| 2004 | 10(交换次序，变限求导) | 3(参数法，格林)，17(高斯) | 9(敛散判断，反例法)，18(比较审敛，零点定理) |
| 2005 | 15(极坐标，分区，取整函数) | 4(高斯)，19(格林，路径无关，微分方程) | 16(收敛区间，求和) |
| 2006 | 8(极化直)，15(极坐标，对称性) | 3(高斯)，19(格林，偏导) | 9(敛散判断)，17(函数展开) |
| 2007 | 6(曲线积分正负)，14(曲面积分对称性)，18(高斯) | 20(逐项求导，微分方程，求和) | |
| 2008 | 12(高斯)，16(参数法，格林) | 11(收敛域)，19(傅里叶级数) | |
| 2009 | 2(大小比较，对称性)，12(球面坐标，对称性) | 11(曲线积分)，19(高斯) | 4(敛散判断，比较审敛，反例法)，16(数项求和，面积) |
| 2010 | 4(定义求和)，12(立体形心) | 11(参数法，格林)，19(曲面积分，切平面，投影) | 18(收敛域，和函数) |
| 2011 | 19(交换次序，分部积分，抽象函数) | 12(参数法，斯托克斯) | 2(收敛域) |
| 2012 | 12(曲面积分)，19(格林) | 17((收敛域，和函数)) | |
| 2013 | 19(旋转体方程，立体形心) | 4(格林，参数法) | 3(傅里叶，延拓，周期性)，16(逐项求导，微分方程) |
| 2014 | 3(交换次序，直化极) | 12(参数法，斯托克斯)，18(高斯，对称性，投影法) | 19(证数列收敛、级数收敛) |
上面表格中数字表示相应年份的试卷中考题的题号，数字后面括号里的文字说明表示该考题涉及的主要考点或主要解题方法。
注：1）“格林”、“高斯”、“斯托克斯”分别指格林公式、高斯公式、斯托克斯公式，2）“极化直”和“直化极”指重积分计算中极坐标与直角坐标的相互转化，3）“交换次序”指交换累次积分的次序，5）“变限求导”指对变限积分函数求导，6）“数项求和”指常数项级数的求和，7）“定义求和”指利用重积分定义求若干项和的极限，8）“抽象函数”指不是用具体数学函数表示的函数，9）“延拓”指对函数进行奇延拓或偶延拓、周期延拓，以便利用傅里叶级数理论，10）“对称性”指积分区域的对称性和函数的奇偶性，二者结合在一起，对积分进行化简计算。
从近15年考题特点来看，关于重积分及其应用方面的内容，最基本最常考的内容是二重积分的计算，考生应该熟练掌握其各种常用的计算方法和技巧，包括利用对称性计算、必要时进行分区域计算、交换积分次序计算、利用极坐标计算；其次是三重积分的计算，常用方法包括：直角坐标计算、球面坐标计算、柱坐标计算；关于重积分的应用，重点应该掌握面积、体积和质心（形心）的计算；除此之外，有时会考重积分大小的比较、利用重积分的定义求数项和的极限；另外，这部分内容有时会用到变限积分函数的求导公式，大家要能熟练运用。
关于曲线和曲面积分，这是数学一的一个考试重点，每年必考，并且时常考一道大题（10分以上）和一道小题（4分）。这方面最常考的题型有3类：运用参数法计算曲线积分、运用格林公式计算曲线积分和运用高斯公式计算曲面积分。除此之外，有时也会考查运用斯托克斯公式计算曲线积分。对于第一类曲线和曲面积分的基本计算大家也应该掌握，另外，在曲线和曲面积分的计算中，要会运用对称性简化计算，提高解题效率。
关于无穷级数方面，同曲线曲面积分类似，它也是数学一的一个重要考点，每年必考，有时也会考两道题，一道大题（10分以上）和一道小题（4分）。常考的题型主要有两类：一类是无穷级数收敛或发散的判断，另一类是无穷级数的求和，求和过程中常用逐项求导和逐项积分的方法，对于常数项级数的求和，常借助幂级数的求和方法计算。除了这两类题型外，有时也会考查傅里叶级数，大家对它的基本概念和方法也应该掌握。另外，关于无穷级数的求和问题，也时常结合微分方程进行考查，题目有一定的综合性，大家对此要有所准备并会计算。
